Hi ,
1)
Ja du kannst locker die ganze Zeit in und um Sydney verbringen
2) + 3)
Würde mir die Stadt schon sehr intensiv anschauen, incl. Chinatown, Darling Harbour, Circular Quay, The Rocks up & down George, Elizabeth and Pitts Street. Sydney Zoo mit Besuch in Manly find ich auch sehr interessant (zusammen kombiert als Tagestrip).
Du könntest dir auch die Strände in the Eastern Suburbs anschauen wie z.B den bekannten Bondi Beach. Von dort aus kannst du auch den Coastal Walk (oder wie der heißt) machen, der fängt in Bondi an und geht bis zum Coogee Beach (oder eben umgekehrt).
Ein Tagestrip zu den Blue Mountains wurde ja schon erwähnt. Wenn du dich für Wein interessiert, würde ich dir ein Besuch im Hunter Valley vorschlagen. Dort gibts klasse Weine und könntest die Cheese & Wine tour mitmachen für 90 AUD. Soweit ich weiß bieten die ein gratis abholservice an aus der Stadt, also musst du dir keine Gedanken machen wie du dort hinkommst.
Wenn du ein eigenes Auto mieten willst, dann würde ich eine Fahrt an die South Coast empfehlen (Wollongong --> Jervis Bay ---> Batemans Bay --> eventuell Canberra (Hauptstadt Australiens) --> wieder zurück nach Sydney. An der South Coast gibts wirklich nette Strände und Nationalparks mit viel Wildlife.
4) Was ist dein Budget? Willst du dich eher in der nähe vom Opera House aufhalten oder Chinatown?