Zum günstigen Essen, das La Fonda im Yachthafen kann ich dir empfehlen bzw. eine Tappastour im Barri Gothic, schick mir eine PN, dann sag ich dir wo du das Ganze schon vorab buchen kannst...
Also wenn du sämtliches von Gaudi in 4 Tagen schaffst, GRATULATION!
Von den must sees hast du ja schon vieles erwähnt, Montjuic (Poble espanyol, gefällt mir jetzt zB nicht wirklich...), wenn du vom Placa Espanya raufgehst, am Museo Nacional vorbei und den Olympiapark voerher machst und zum Abschluss das museo militarico (mMn die beste Aussicht von Barcelona) neben dem Tibidabo von der anderen Seite... könntest du mit der Seilbahn zum Hafen runterfahren, da könntest du dann zB der Promenade entlang raufgehen bis zum Olympiahafen und im La Fonda essen ABER nur wenn du wirklich großen Hunger hast (Mittagsmenü ab € 19,- aber ich hab das Essen dort noch nie weggebracht...) und von dort weiter zum Park Ciutadella (Zoo, Park und historische Gebäude),
das ist dann fürs erste mal eh schon einiges, bleiben natürlich Sagrada, Kolumbusdenkmal, Hafenrundfahrt, Camp Nou und wenn du länger wärst würde ich noch Montserrat (Kloster ausserhalb von BCN) empfehlen, aber dafür ist die Zeit wohl zu kurz.
Zur Schlussfrage, öffentlich ist der Tibidabo nicht wirklich gut zu erreichen=> entweder du fahrst mit der historischen Straßenbahn (die aber auch kostet) oder mit dem Bus, wo du dann aber noch ein schönes Stück bis zur Seilbahn laufen musst.