Hi Rita,
London-City ist natürlich von der Lage her nicht zu toppen! Und in ein interessanter Flughafen (schon mal Bilder gesehen?) Aufgrund der sehr kurzen Landebahn kann hier fast eher von einem kontrollierten Absturz sprechen als von einer Landung. 
Heathrow ist sicher keine schlechte Wahl. Lass Dich allerdings von der vermeintlich guten Lage nicht täuschen, die Transfermöglichkeiten von den anderen Flughäfen sind unbedingt langsamer / teurer. Gatwick hat z. B. auch eine ziemlich schnelle, günstige Zugverbindung bis Victoria, London Bridge und St. Pancras.
In Vauxhall habe ich noch nicht gewohnt. Wäre für mich definitiv eine interessante Lage, da in Laufnähe zu vielen Sehenswürdigkeiten und dennoch in einem authentischen Viertel, das man sonst nicht unbedingt besuchen würde.
Falls Du was in den Docklands buchst, solltest Du auf eine gute Verkehrsanbindung achten. Außerdem auch, dass Du dort nicht völlig in der Pampa landest und auch eine paar Geschäfte und Pubs in der Nähe hast.
Das beste ist es sicherlich sich die Gegenden einmal bei Google Street View anzuschauen.
Dort findest Du dann sicher auch den nächsten Supermarkt zum Apartment.
Noch ein paar allgemeine Tipps zum Reisen mit Kindern:
- Kinder zwischen 5-10 können kostenlos im Bus mitgenommen werden, für Tubetickets und Tageskarten gibt´s Rabatt.
- Früher war es unüblich, heute ist es in den meisten Pubs gestattet, mit Kindern essen zu gehen. Das Essen ist in der Regel deutlich günstiger als in Restaurants.
- In den großen Londoner Museen ist der Eintritt frei und fast alle bieten spezielle Attraktiionen für Kinder.
LG Eva