Natürlich reicht ein Gerichtsbeschluss, der dir das alleinige Sorgerecht bestätigt, vollkommen aus!
Du würdest erstens vom Jugendamt auch keine englische Version bekommen, zweitens dürften deine Englischkenntnisse die der meisten Zollbeamten bei weitem toppen - da spricht schon eher mal einer bayrisch!
Richtig ist der Hinweis, dass ein abweichender türkischer Familienname tendenziell ungefähr das einzige Kriterium ist (aus den von @juanito genannten Gründen), was zu genaueren Nachfragen führen kann ... oder auch nicht, wenn sich beim Scan keinerlei weitere fragwürdigen Merkmale ergeben.
Ich finde es grundsätzlich gut, dass du dich im Vorfeld sehr genau erkundigst, deine rechtliche Absicherung ist jedoch tadellos und könnte im schlimmsten Fall zu einer Wartezeit führen, wenn sie von der dt. Botschaft bestätigt werden müsste. Damit ist aber nicht zu rechnen, wenn du eine beglaubigte Kopie des Gerichtsbeschlusses für den Nachfragefall mitbringst.
Edit: Solltest du die Telefonnummer der teutonischen ständigen Vertretung in Ankara meinen, spricht man am anderen Ende ausgezeichnetes Deutsch - eine andere Nummer würde m.E. keinen wahren Nutzen bedeuten ...!?