Im Reisebüro war man offensichtlich übervorsichtig. Du kannst mit Deinem Personalausweis noch einreisen, Rainer. Die von Dir erwähnte 6-Monate-Regelung gilt für Reisepässe und für bestimmte Länder. Wenn dies der Fall ist, wird das in den Reisehinweisen des Auswärtigen Amtes auch angegeben. Dennoch empfehle ich Dir, die Erneuerung Deiner Papiere nicht allzu weit heraus zu schieben, irgendwann ist Feierabend und auch die Überschreitungsfrist von einem Jahr zu Ende. Dann wird es eng.
P.S.: Fiel mir gerade auf, Du fliegst ja erst Ende August. Da kannst Du ja voeher noch ganz entspannt einen neuen beantragen, vielleicht fliegst Du dann ruhiger.