Hallo,
zu Deinen Fragen:
1. Der Stuttgarter Hauptbahnhof hat 16 Gleise. Je nachdem, auf welchem Gleis man ankommt, ist der Weg zur S-Bahn länger oder kürzer. Man kann den Weg sicherlich auch in 5 Minuten schaffen, aber mit Gepäck und wenn man sich nicht genau auskennt bieten 10 Minuten natürlich mehr Sicherheit.
2. Die S-Bahn-Station Flughafen ist direkt unter der Abflughalle. Einfach mit der Rolltreppe nach oben und den Wegweisern richtung Terminal 3 (für TUIfly) folgen.
3. TUIfly hat in Stuttgart klassische Schalter.
Wenn es aber wirklich so knapp ist, dass es auf 10 Minuten ankommt, würde ich dringend empfehlen, einen früheren Zug zu nehmen. Die Bahn kann ja auch mal z.B. eine halbe Stunde Verspätung haben - auch das sollte man einkalkulieren. Und wenn dann der Flug weg ist, wäre das doch sehr ärgerlich.
Gruß
Chris